السؤال: بلغ عدد الأشخاص الذين زاروا المتنزه خلال ٣ ساعات ٢٢٩٢ شخصاً. أي التناسبات الآتية تستعمل لإيجاد (س) التي تمثل عدد الأشخاص الذين زاروا المتنزه خلال ١٢ ساعة بالمعدل نفسه؟
الإجابة الصحيحة: التناسب الصحيح هو (٢٢٩٢ / ٣ = س / ١٢) أو بصيغة مكافئة (٣ / ٢٢٩٢ = ١٢ / س)؛ لأن العلاقة تمثل تناسباً طردياً ثابت المعدل يتطلب قسمة عدد الزوار على عدد الساعات في الطرفين بالتناظر.
تُعد مسائل التناسب ومعدل الوحدة من الركائز الأساسية في مادة الرياضيات (خاصة لطلاب المرحلة المتوسطة في درس كتابة التناسبات وحلها)، حيث تساعد الطالب على ربط الكميات الرياضية بالمواقف الحياتية اليومية. وقد تصدّر سؤال حساب عدد زوار المتنزه خلال ١٢ ساعة عمليات البحث لما يتطلبه من دقة في ترتيب البسط والمقام لتفادي الخلط بين المعطيات أثناء كتابة المعادلة التناسبية.
تحليل المسألة اللفظية واستخراج المعطيات الرياضية
للوصول إلى معادلة التناسب الصحيحة لعدد زوار المتنزه دون الوقوع في أخطاء الترتيب، يجب أولاً تفكيك النص اللفظي للمسألة إلى معطيات رقمية واضحة وتحديد نوع العلاقة التي تربط بينها:
١. النسبة الأولى (المعلومة)
عدد الزوار في الفترة الأولى يبلغ ٢٢٩٢ شخصاً خلال مدة زمنية قدرها ٣ ساعات، مما يعطينا الكسر الأول (٢٢٩٢ / ٣).
٢. النسبة الثانية (المجهولة)
عدد الزوار المطلوب إيجاده يرمز له بالمتغير (س) خلال مدة زمنية قدرها ١٢ ساعة، مما يعطينا الكسر الثاني (س / ١٢).
٣. نوع التناسب
عبارة "بالمعدل نفسه" تعني ثبات معدل تدفق الزوار في الساعة الواحدة، وبالتالي فإن العلاقة تناسب طردي يزيد فيه عدد الزوار بزيادة الساعات.
كيفية صياغة التناسب الصحيح وحساب قيمة المجهول (س)
ينص قانون التناسب الرياضي على تساوي نسبتين أو أكثر. وعند كتابة التناسب، يُشترط توحيد الوحدات في البسط والمقام في كلا الطرفين (الأشخاص في البسط، والساعات في المقام):
الطريقة الأولى: الضرب التبادلي (طريقة المقص)
نكتب التناسب الأساسي المعتمد في حلول مسائل التناسب ثم نطبق خاصية الضرب التبادلي لإيجاد قيمة (س) كالآتي:
- معادلة التناسب: ٢٢٩٢ / ٣ = س / ١٢
- تطبيق الضرب التبادلي: ٣ × س = ٢٢٩٢ × ١٢
- تبسيط المعادلة: ٣ س = ٢٧٥٠٤
- القسمة على معامل (س): س = ٢٧٥٠٤ ÷ ٣ = ٩١٦٨ شخصاً.
الطريقة الثانية: حساب معدل الوحدة أولاً
يمكن التحقق من صحة الحل عن طريق إيجاد عدد الزوار في الساعة الواحدة (معدل الوحدة)، ثم ضربه في إجمالي الساعات المطلوبة:
- معدل الزوار في الساعة الواحدة: ٢٢٩٢ شخصاً ÷ ٣ ساعات = ٧٦٤ شخصاً لكل ساعة.
- عدد الزوار خلال ١٢ ساعة: ٧٦٤ × ١٢ ساعة = ٩١٦٨ شخصاً.
جدول مقارنة التناسبات المكافئة والخاطئة في الاختبارات
قد ترد الخيارات في اختبارات الرياضيات بأكثر من صورة كسرية. يوضح الجدول التالي الفرق بين الصيغ الصحيحة المكافئة والصيغ الخاطئة التي يجب تجنبها:
| صيغة التناسب | ترتيب الحدود | الحكم الرياضي والسبب |
|---|---|---|
| ٢٢٩٢ / ٣ = س / ١٢ | الأشخاص في البسط / الساعات في المقام | صحيحة (الصيغة القياسية): لتناظر البسط مع البسط والمقام مع المقام. |
| ٣ / ٢٢٩٢ = ١٢ / س | الساعات في البسط / الأشخاص في المقام | صحيحة (صيغة مقلوبة مكافئة): تعطي نفس حاصل الضرب التبادلي (٣س = ٢٢٩٢×١٢). |
| ٢٢٩٢ / ٣ = ١٢ / س | أشخاص على ساعات = ساعات على أشخاص | خاطئة: لعدم توحيد الوحدات المتناظرة بين طرفي المعادلة (عكس النسبة الثانية). |
| ٣ / ١٢ = س / ٢٢٩٢ | ساعات (١) على ساعات (٢) = أشخاص (٢) على أشخاص (١) | خاطئة: لأنها تمثل تناسباً عكسياً ينتج عنه (١٢س = ٣×٢٢٩٢) وهو مخالف للمسألة. |
أسئلة شائعة حول مسألة تناسب زوار المتنزه
كم يبلغ عدد الأشخاص الذين زاروا المتنزه خلال ١٢ ساعة (قيمة س)؟
قيمة (س) تساوي ٩١٦٨ شخصاً، ويمكن إيجادها مباشرة بملاحظة أن الزمن تضاعف ٤ مرات (من ٣ ساعات إلى ١٢ ساعة)، فنضرب عدد الزوار ٢٢٩٢ في ٤ لنحصل على ٩١٦٨ زائراً.
هل يختلف الحل إذا كتبنا الساعات في البسط وعدد الأشخاص في المقام؟
لا يختلف الحل إطلاقاً بشرط الالتزام بنفس الترتيب في الطرفين؛ فكتابة (٣ / ٢٢٩٢ = ١٢ / س) صحيحة رياضياً وتؤدي عند الضرب التبادلي إلى نفس المعادلة (٣ × س = ٢٢٩٢ × ١٢).
لماذا لا نستخدم التناسب العكسي في هذه المسألة؟
لأن عدد زوار المتنزه يزداد كلما زادت ساعات فتح المتنزه بالمعدل نفسه، والزيادة في كلتا الكميتين معاً هي السمة الأساسية للتناسب الطردي وليس العكسي.
خلاصة الحل في نقاط سريعة:
- التناسب القياسي المطلوب: ٢٢٩٢ / ٣ = س / ١٢ (أو ٣ / ٢٢٩٢ = ١٢ / س).
- معدل الزوار في الساعة الواحدة: ٧٦٤ زائراً لكل ساعة.
- إجمالي عدد الزوار خلال ١٢ ساعة (س): ٩١٦٨ شخصاً.